Суми и произведения

Пример 1. Изчисляване на безкрайна сума символно. След това я решаваме числено и показваме още резултата с двойна точност от 16 цифри след десетичната запетая, като кликнем в резултата и натиснем клавиша ENTER.

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] 1/i^2N[%]       &n ... 85;ото действие .   *)

π^2/6

1.64493

RowBox[{1.64493, }]

Добре е да опитваме пресмятането и като използваме стандартен запис с функцията Sum[ ].

Sum[1/i^2, {i, 1, ∞}]

π^2/6

Пример 2. Когато е възможно,  Mathematica  намира точната формула:

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] iUnderoverscript[∑, i = 1, arg3] i^2 Underoverscript[∑, i = 1, arg3] i^3

1/2 n (1 + n)

1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

1/4 n^2 (1 + n)^2

Пример 3. Многократните суми могат да съдържат индекси, зависещи от техни предходни, например k=1, ..., n  и  m=k, ..., n:

s1 = Underoverscript[∑, k = 1, arg3] Underoverscript[∑, m = k, arg3] (k * m)

1/24 n (1 + n) (2 + n) (1 + 3 n)

Пример 4. Могат да се изчисляват специални суми с участие на променливи и константи:

s2 = Underoverscript[∑, k = 0, arg3] Underoverscript[∑, m = 0, arg3] x^ky^m

-(1 - x^(1 + n) - y + x^(2 + n) y + x y^2 (x y)^n - x^2 y^2 (x y)^n)/((-1 + x) (-1 + y) (-1 + x y))

Пример 5.  Опит за изчисляване на безкрайна сума символно, но тъй като не може, системата показва началната формула, а не резултат. След това я решаваме в определени граници и получаваме резултата във вид на обикновена или десетична дроб по желание.

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] Underoverscript[∑, j = 1, arg3] (1/(i^3 + j^3))

RowBox[{Underoverscript[∑, i = 1, arg3], RowBox[{Underoverscript[∑, j = 1, arg3], RowBox[{1., /, (i^3 + j^3)}]}]}]

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] Underoverscript[∑, j = 1, arg3] (1/(i^3 + j^3)) &n ... кновени дроби}], *)}]}]}]

14549951251313062169970617/12017679094033690960512000

1.21071

1.21071

RowBox[{RowBox[{Underoverscript[∑, i = 1, arg3], RowBox[{Underoverscript[∑, j = 1, ... owBox[{Underoverscript[∑, j = 1, arg3], RowBox[{(, RowBox[{1., /, (i^3 + j^3)}], )}], }]}]

1.34862

1.36353

RowBox[{Underoverscript[∑, i = 1, arg3], RowBox[{Underoverscript[∑, j = 1, arg3], RowBox[{(, RowBox[{1., /, (i^3 + j^3)}], )}], }]}]

1.36437

Получихме абсолютна грешка за момента до 2 десетични знака, т.е. сумата е приблизително 1.36.

Пример 6. Тук Пример 5 е записан в стандартна форма. Освен това е приложено приближено сумиране с функцията NSum[ ].

Sum[1/ (i^3 +j^3), {i,1,Infinity },{j,1,Infinity }]
Sum[1/ (i^3 +j^3), {i,1,100}, {j,1,100}];
% //N
NSum[1/(i^3 + j^3),{i,1,2000},{j,1,2000}]

Underoverscript[∑, i = 1, arg3] Underoverscript[∑, j = 1, arg3] 1/(i^3 + j^3)

1.34862

RowBox[{RowBox[{1.36202, }], +, RowBox[{0., , }]}]

Пример 7.  Ето случай, когато индексната променлива нараства със стойност 3. Резултатът се намира и с 16 десетични знака точност.

Sum[1/i^3,{i, 1,33,3}]
N[%,16] 

13387308346588554663968149
--------------------------
13116805863727582016000000
1.020622587973876

Пример 8.  Пресмятането на произведение е аналогично лесно. Операторите, които завършват със символа ;  нямат изход. Това е удобно, когато той е обемист или не ни интересува.

Product[1/i^2, {i,1,100}];  N[%]
Product[1/i^2, {i,1,Infinity}]
NProduct[1/i^2, {i,1,Infinity}]  (*  NProduct uses numerical method of calculation *)

1.148134297558721*10^-316

1.3463*10^-157

0

0

Можем и с математичевска символика, например:

Underoverscript[∏, i = 1, arg3] 1/i^2 ; %//N

1.148134297558721*10^-316

Created by Mathematica  (December 29, 2007)